출처 : http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html

위 페이지에서 wavelet에 대한 개념을 정리할 수 있었다.

간단히 말하면, Fourier 변환의 한계를 극복하기 위해 등장했다.

그럼 과연 Fourier 변환의 한계가 무엇일까?

일반적으로 모든 시간에 모든 주파수가 혼합되어져 있는 형태로 주파수가 나온다.

말로 설명을 하니 어려운데, Fourier로 얻는 주파수들은 모든 시간에서 함께 존재하는 것으로 생각될 수 있다.

하지만, 시간마다 주파수가 변한다면?

0 ~ 10초까지는  5Hz, 10 ~ 20초까지는 10Hz라면 어떻게 될까?(non-stationary signal)

0 ~ 20초까지 5Hz와 10Hz가 공존(합성)하는 신호(stationary signal)와 구별해 낼 수 있을까?

없다. Fourier 변환은 위와 같은 특성을 이해할 수 없다.

변환 후 주파수축만이 존재하니까.

 non-stationary signal을 구별해 낼 수 없기 때문에 Short Term Fourier Transform(STFT)가 나오게 되었다.

신호를 일정한 크기의 창(window)로 잘라내서 그 창 안의 신호가 stationary signal이 될 때 각 시간 별 주파수를 알아낼 수 있는 방법이다.

창의 크기가 작아지면 어떤 주파수가 어떤 시간에 존재하고 있는가를 알기 편해지고

창의 크기가 커지면 어떤 주파수가 존재하고 있는가를 알기 편해진다.(창의 크기를 무한대라고 가정하면 창이 없는 Fourier변환과 같게 된다.)

신호에 대해 STFT를 하면 3차원 시간, 주파수, 진폭 그래프가 나오게 된다.

하지만 STFT도 문제가 있다. 어느 정도의 크기로 잘라야 그 안의 신호가 stationary 해질까?

이 문제(MultiResolution Problem)를 해결하기 위해 등장한 것이 wavelet변환이다.

wavelet변환은 STFT에서의 창에 특정한 wavelet을 넣어 그 창을 스케일(압축하거나 팽창시킴-그리하여 창이 여러개)하여 

MultiResolution 문제를 해결하려하고 있다.

wavelet 변환을 하게 되면 scale, translation, amplitude축을 가진 3차원 그래프가 나오게 되는데,

scale은 주파수의 특성을, translation의 특성을 가진다.

scale은 축척의 의미를 가지고 있으며 wavelet모함수를 얼마만큼 팽창(압축)시켰는가를 나타낸다.

scale값이 커질수록 더욱 많이 팽창시켰다는 의미이므로 저주파의 특성을 나타내고 작을수록 고주파의 특성을 나타낸다.

translation은 모함수 윈도우(wavelet이 포함된 창)의 위치를 나타낸 것이다. 시간에 따라 창이 이동하는 것(shift)을 이야기 한다.


+)추가 2012.02.22

웨이블릿 모함수의 선택은 원신호와 모함수의 형태가 유사한 선택하는 것이 좋다.


이해해야할 문제)

현재 변환된 그래프를 보고 시간에 따른 주파수의 변화는 알 수 있으나

모함수의 특성에 따른 스케일과 주파수의 관계를 파악 할 수 없다.(스케일값으로 정확한 주파수를 알아낼 수 있는지)
by clavez 2012.02.17 17:02